e

Exponential-Determinantendarstellung

$$ \lim_{n\rightarrow 0} det \begin{bmatrix} 1+n & 0 \\ 0 & \ddots \end{bmatrix} = \lim_{n\rightarrow \infty} det \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\frac{1}{n} & 0 \\ 0 & \ddots \end{bmatrix} }_{n} = e $$ based on: $$ e = \lim_{n\rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{1}{n} \Big)^n $$

Each of these Points $ p \in Points$ represents a collumn of the matrix $ M(n) = \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\frac{1}{n} & 0 \\ 0 & \ddots \end{bmatrix}}_{n} $ with a freely chosen $n \in \mathbb{N}$. To represent these $ n $ dimensional vectors in $ \mathbb{R}^2 $, the n-Dimensionalprojektion is used. This means, that because every Vector $ v $ which represents a Collumn of $M(n)$ has all values $ 0 $ except for one, that every angle represented in the interactiv graphic above represents another dimension. Therefor all points above lie on different basisvectors (ie. in different dimensions) and therefor only their distance from the $ 0 $-Vector determines their one remaining value. Now, if we imagine that all these points lie on different dimensions, we only need to measure the area that is spanned by these points using the determinant and this results in an increasingly accurate measurement for $ e $, that is exactly $e$, if we take the limit of $ \lim_{n\rightarrow \infty} M(n) $.

$$ e^x = \lim_{n\rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{x}{n} \Big)^n = \lim_{n\rightarrow \infty} det \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\frac{x}{n} & 0 \\ 0 & \ddots \end{bmatrix} }_{n} $$

Der oben genannte Prozess erlaubt es einem, die Zahl $ e $ zu errechnen. Dies ist jedoch bisher von keinem ersichtlichen Nutzen, da diese Konstante für sich gesehen keinen Nutzen hat. Die Warheit ist, dass $ e $ ein Hindernis ist, welches man zu umgehen versucht um ein Tieferliegendes Ziel zu erreichen. Dieses Ziel ist einen Gruppenhomomorphismus zwischen $ + $ und $ \cdot $ zu finden, welcher grob gesagt es uns erlauben wird, die Regeln der Addition auf bestimmte Multiplikationen anzuwenden.

$ 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{1+1+1} = 10^3 $

Möchte man diese Technik jedoch erweitern, sodass dies für jede Multiplikation zwischen verschiedenen Zahlen funktioniert, so muss mann folgendes machen:

$ 10 \cdot 7 = e^{ln(10)} \cdot e^{ln(7)} = e^{ln(10)+ln(7)} $

Hierfür gibt es eine gute geometrische Bedeutung, welche durch Logarithmen deutlich wird. Anders gesagt, wird $ 10 $ zuerst als Flächeninhalt eines $ \mathbb{R}^\infty $ (unendlich-dimensionalen Raumes), auf dem entlang jeden Basisvektors eine Seite von "$ 1+\frac{x}{\infty}$" aufgespannt ist gesehen. Nun findet man heraus, wie lang diese Seiten sein müssen, damit 10 herauskommt und erhält somit $ ln(10) $. Wenn man dies hat, kann man das selbe nun mit 7 tuen um $ ln(7) $ zu erhalten, worauf hin man nur noch das selbe geometrische Konstrukt bauen muss wie vorher, nur dass nun die Seitenlänge $ln(10)+ln(7)$ sein muss. Da wir wissen, dass $ e^x \cdot e^y = e^{x+y} $ gilt, wissen wir, dass diese geometrische Konstruktion nun den selben Flächeninhalt hat, wie $10\cdot 7 $ und somit hat man erfolgreich eine Multiplikationen ( $10\cdot 7$ ) in eine Addition ($ln(10)+ln(7)$) umgewandelt.

Die schwarzen Viertelkreise symbolisieren hier den Flächeninhalt nach der Exponential-Determinantendarstellung zu dem zugehörigen Wert, welcher in Rot darin geschrieben ist. Die schwarzen Rahlen unten rechts an der Seite der Viertelkreise gibt dabei an, was der Zugehörige Flächeninhalt ist.

Logarithmus

Hierbei steht $ ln $ für den Logarithmus naturalis welcher folgendermaßen definiert ist:

$$ e^x = y \Leftrightarrow x = ln(y) $$

Dies kann man geometrisch dank der Exponential-Determinantendarstellung $$ \lim_{n\rightarrow \infty} det \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\frac{x}{n} & 0 \\ 0 & \ddots \end{bmatrix} }_{n} = e^x $$ betrachten. Setzt man die Definition des Logarithmus in die Exponential-Determinantendarstellung ein, so erhält man: $$ x = ln(e^x) = ln \Bigg( \lim_{n\rightarrow \infty} det \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\frac{x}{n} & 0 \\ 0 & \ddots \end{bmatrix} }_{n} \Bigg) $$ Also kann der $ln (y), \> y\in K $ Operator als eine Funktion gesehen werden, welche, wenn man $ \infty $ Dimensionen hat auf denen jeweils ein "$ 1+\frac{x}{\infty} $" langer Strang entlang eines Basisvektors geht und davon den aufgespannten Flächeninhalt nimmt, so wird diesem Flächeninhalt mittels des natürlichen Logarithmus das zugehörige $ x $-Wert zugeordnet, welcher diesen Flächeninhalt auswirkte.